ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1ο α. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύουν f(0)=2, f(1)=1+e, να δείξετε ότι η εξίσωση f’(x)=2x(f(x)-1) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
β. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Αν i. η f συνεχής στο Δ και ii. F”(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ να δελιξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
ΘΕΜΑ 2ο Δίνεται η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2] και παραγωγίσιμη στο (1,2) με f(2)=0 να δείξετε ότι:
α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξε(1,2) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στη γ.π. g(x)=f(x).lnx στο σημείο Α(ξ,g(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx’.
β. Η εξίσωση f’(x)=-f(x)/lnxx έχει μια τουλάχιστον λύση στο (1,2).
ΘΕΜΑ 3ο. Έστω μια συνάρτηση f:RàR η οποία είναι παραγωγίσιμη με f(0)=-1/2, f(x) διάφορο του 0 για κάθε xεR και f’(x)+f2(x).συνx=0 για κάθε xεR.
α. Να βρείτε το τύπο της f
β. Αν g είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με g’(x)=f(x), να δείξετε ότι για όλα τα α,β εR ισχύει: g(β)-g(α)<β-α
γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x)=x έχει μια το πολύ πραγματική ρίζα.
ΘΕΜΑ 4ο. Έστω μια συνάρτηση f: RàR, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και f(0)=0.
α. f(α)=αf’(α), α>0, να δείξετε ότι η εξίσωση f’’(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,α).
β. Αν f’[β,0], να δείξετε ότι f(β)>βf’(β).
γ. Αν f’{0,α] να δείξετε ότι f(α)/2>f(α/2)