ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ 1. Υποθέτουμε ότι μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την ισότητα (f(x)) –f(x).f’(x)=x3+3x-6xlnx για κάθε xε(0,+&). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή δεν έχει σημεία καμπής.

ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η f(x)=2ημx-x+3, xε[0,π].
Α. Να μελετήσετε τη f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημx=1/2x-3/2 έχει μοναδική ρίζα στο (ο,π)
Γ. Να αποδείξετε ότι -2(μικρότερο του π.x-2.συνx-x2<π2/2+2 για κάθε xε[0,π]. ΘΕΜΑ 3. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύουν: F(1)=α-2, f(3)=3α-2 με α θετική πραγματική σταθερά. Α. Αν f(5)=7a-2 να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξεR τέτοιο ώστε f” (ξ)>α/4
Β. Αν f(5)=5α-2 να αποδειχθεί ότι υπάρχει θεR τέτοιο ώστε f”(θ)=0
Γ. Αν f(5)=2α-2 να αποδειχθεί ότι υπάρχει ρεR τέτοιο ώστε f’(ρ)=0.

ΘΕΜΑ 4.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f(x)=3x+1/x που είναι κάθετη στην ψ=x+4 και έχει στο σημείο επαφής τετμημένη x0>0.

ΘΕΜΑ 5. Έστω η συνάρτηση f(x)= α.x5+δ.x2+ε.x+z με 5αχ4+2δx+ε=0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2).