ΘΕΜΑΤΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1ο . Σ’ ένα παραλληλόγραμμο ΟΑΒΓ είναι ΑΒ=α και ΑΓ=β. Αν Δ είναι ένα σημείο της ΒΓ τέτοιώστε 2ΒΓ=3ΔΓ, να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΓ,ΑΔ,ΟΔ,ΒΔ και ΔΓ ως συνάρτηση των α,β.
β. Τρία σημεία Α,Β,Γ έχουν διανύσματα θέσης α,β,γ αντίστοιχα. Αν 5α-2β=3γ, να αποδείξετε ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. (όλα είναι διανύσματα).
ΘΕΜΑ 2ο. Αν για το σημείο Μ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις ΑΜ=λΑΒ+μΑΓ και ΒΜ=λΑΓ+μΒΑ να αποδείξετε ότι το Μ είναι μέσο της ΒΓ.
ΘΕΜΑ 3ο. α. Αν για τα διανύσματα α,β ισχύουν =2α και α+β=α να αποδείξετε ότι τα α,β είναι αντίρροπα.
β. Αν τα διανύσματα α,β έχουν ίσα μέτρα και είναι κάθετα μεταξύ τους να αποδείξετε ότι και τα διανύσματα 2α+β και α-2β είναι κάθετα μεταξύ τους.
ΘΕΜΑ 4ο. α. Δίνονται τα σημεία Α(2,3) και Β(5,-2). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ του άξονα χ’χ ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ.
β. Αν α κάθετο στο β, α+β κάθετο στο α-3β και α-β=2 να αποδείξετε ότι α=ρίζα3 και β=1. (όλα είναι διανύσματα).