ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΑΤΑΣΕΩΝ 2008

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΜΑΪΟΥ 2008
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΘΕΜΑ 1o

A.1 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = xln, x∈* είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει:
()x1xln=′

Μονάδες 10

Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];

Μονάδες 5

B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Αν μια συνάρτηση f:A→ είναι 1−1, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f−1 ισχύει:
)A(fy y,))y(f(f και A xx,))x(f(f11∈=∈=−−

Μονάδες 2

β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 2

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

γ. Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 με α,β,γ∈ και α≠0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο  των μιγαδικών.

Μονάδες 2

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει
f΄΄( x ) > 0
για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Μονάδες 2

ε. Aν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ∈Δ τότε ισχύει
∫∫∫+=βγγαβαf(x)dx f(x)dx f(x)dx

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2ο
Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν
3i)(3wi)(1w και 6z)22i(−−=−−=+
τότε να βρείτε:
α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z .

Μονάδες 6

β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w .

Μονάδες 7

γ. την ελάχιστη τιμή του w

Μονάδες 6

δ. την ελάχιστη τιμή του wz−

Μονάδες 6

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση ⎩⎨⎧=>= 0x , 0 0x,lnx x f(x)
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0.

Μονάδες 3

β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Μονάδες 9

γ. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης xαex= για όλες τις πραγματικές τιμές του α.

Μονάδες 6

δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει
f΄(x+1)>f(x+1)−f(x) ,
για κάθε x > 0 .

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο  για την οποία ισχύει
∫−+=20345f(t)dt 3x)10x(f(x)
α. Να αποδείξετε ότι
f(x)=20x3+6x−45

Μονάδες 8

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

β. Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο  . Να αποδείξετε ότι
hh)(xg(x)glim(x)g0h−′−′=′′→

Μονάδες 4

γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος (β) ισχύει ότι
45f(x)hh)g(x2g(x)h)g(xlim20h+=−+−+→
και g(0)=g΄(0)=1, τότε
i. να αποδείξετε ότι g(x)=x5+x3+x+1

Μονάδες 10

ii. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι 1−1

Μονάδες 3

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες.
5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
6. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 10.30΄ πρωινή.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ