΄΄ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΠΟΥ ΑΓΑΠΗΣΑ΄΄ 3. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ 3

΄΄ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΠΟΥ ΑΓΑΠΗΣΑ΄΄ 2. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ 2

΄΄ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΠΟΥ ΑΓΑΠΗΣΑ΄΄ 1. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ 1

4 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΙΠΠΑΣΟΣ: Ο ΚΑΛΥΤΕΡΟΣ ΜΑΘΗΤΗΣ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΠΟΥ ΒΡΗΚΕ ΤΟΝ ΠΡΩΤΟ ΑΡΡΗΤΟ ΑΡΙΘΜΟ

Ο Ίππασος ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Ο Αριστοτέλης αναφέρει ότι ήταν Μεταπόντιος, από την ελληνική αποικία της Μεγάλης Ελλάδας. Στα τέλη του 6ου αι. π.Χ. το Μεταπόντιο φιλοξένησε τον Πυθαγόρα και έγινε το κέντρο συνάντησης των Πυθαγορείων]. Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Ήταν ο ιδρυτής του «μαθηματικού τμήματος» της Πυθαγόρειας Σχολής.

Η διδασκαλία του διέφερε των άλλων Πυθαγορείων ως προς τούτο: ότι παραδεχόταν ως αρχή του κόσμου την ύλη (πυρ) και όχι την άϋλη μορφή (αριθμοί) όπως εκείνοι. Είναι πιθανό εξ αυτού να πήγασε η διάδοση ότι ο Ίππασος κοινοποίησε μυστικά της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας και ότι εξ αυτού καταδιώχθηκε και τελικά φονεύθηκε.

Ήταν ίσως ο καλύτερος μαθητής που φοίτησε ποτέ στη σχολή του Πυθαγόρα. Την ίδια στιγμή όμως ήταν και αυτός που κατάφερε να καταρρίψει τους Πυθαγόρειους, ανοίγοντας ένα νέο, πολύ σημαντικό κεφάλαιο για τα μαθηματικά.

Η διάσημη σχολή του Πυθαγόρα – Οι «θεϊκοί» αριθμοί και ελλιπής εξήγηση του κόσμου

Οι Πυθαγόρειοι δεν ήταν μια αμιγώς επιστημονική ομάδα. Για την ακρίβεια, η βασικές ανησυχίες τους κυμαίνονταν γύρω από την φιλοσοφία και την θρησκεία. Τα μαθηματικά ωστόσο κατείχαν την ύψιστη θέση στην διαμόρφωση της ιδεολογίας τους. Οι αριθμοί για τον Πυθαγόρα και τους μαθητές του, ήταν κάτι το θεϊκό. Δεν ήταν απλοί συμβολισμοί που διευκολύνουν τον άνθρωπο να μετράει και να υπολογίζει. Ήταν κάτι ανώτερο από τον υλικό κόσμο, στον οποίο έβρισκαν εφαρμογή. Κάτι που άνηκε στη σφαίρα του ιδεατού και μόνο μέσα από την βαθύτατη νόηση γινόταν προσιτό.

Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους, ολόκληρο το σύμπαν ήταν αποτέλεσμα των αριθμών και της γεωμετρίας. Ωστόσο, από τον αρχαίο Ελληνα μαθηματικό και από όσους φοίτησαν στο Ομακοείον (το κτίριο ομαδικής διδασκαλίας των Πυθαγόρειων στην Κρότωνα της Ιταλίας) είχαν ξεφύγει οι περισσότεροι αριθμοί. Στην σκέψη των μαθηματικών της εποχής, όλοι οι αριθμοί μπορούσαν να εκφραστούν ως κλάσματα δύο ακεραίων. Για τους Πυθαγόρειους δε, τα πάντα στον κόσμο ισοδυναμούσαν με έναν αντίστοιχο (ρητό) αριθμό. Αν αυτό ίσχυε όμως, ποιο ρόλο έχουν οι άρρητοι, που μάλιστα είναι και ασύγκριτα περισσότεροι. 
Ο Ίππασος κατέρριψε όλα όσα πίστευαν οι Πυθαγόρειοι

Το μαθηματικό τμήμα της Πυθαγόρειας σχολής, ήταν ένα από τα πιο προηγμένα της εποχής. Το πασίγνωστο Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι το πλέον χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αν και οι ιστορικοί κατά καιρούς έχουν εκφράσει αμφιβολίες για τον «πατέρα» του θεωρήματος, είναι αποδεδειγμένο πως ανακαλύφθηκε την εποχή που η σχολή του Πυθαγόρα άκμαζε. Μάλιστα, συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης και ο Κικέρων αποδίδουν με σιγουριά το επίτευγμα στον σπουδαίο μαθηματικό.

Ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος στο Ομακοείον ήταν ο Ιππασος, ένας από τους σημαντικότερους μαθητές του Πυθαγόρα και αυτός που έμελε να καταρρίψει συθέμελα όσες ιδέες είχαν «οικοδομηθεί» μέσα στην σχολή που διακρίθηκε. Το εργαλείο του; Το θεώρημα που έκανε πασίγνωστο τον Πυθαγόρα!

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Αν οι δύο κάθετες πλευρές ισούνται με 1 όμως, τότε η υποτείνουσα έχει μήκος ίσο με την ρίζα του 2. Αυτός ο αριθμός είχε προβληματίσει τους Πυθαγόρειους, χωρίς όμως να κλονίσει την αμετάκλητη πεποίθηση τους, πως υπάρχει κάποιος ισοδύναμος ρητός που να ισούται με την ρίζα του 2. Αλλωστε, οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονταν πως υπάρχουν πάρα πολλοί ρητοί  και ως εκ τούτου, η ρίζα που έψαχναν μπορεί να… κρυβόταν πίσω από κάποιους πολύ μεγάλους αριθμούς.

Ο Ίππασος όμως δεν μπορούσε να αφήσει μια ρίζα να τον νικήσει. Προσπάθησε να αποδείξει πως ισούται με κάποιον αριθμό, αλλά κατάφερε να δείξει πως αυτός ο αριθμός δεν ήταν ρητός! Η Πυθαγόρεια φιλοσοφία δέχτηκε ένα αγιάτρευτο πλήγμα. Ένας αριθμός που δεν είναι ρητός, δεν μπορούσε να χωρέσει στην σκέψη των Πυθαγόρειων. Όλο τους το σύμπαν, ήταν φτιαγμένο από κλάσματα, μην αφήνοντας χώρο σε… παράλογους αριθμούς που τα δεκαδικά τους δεν έχουν σταματημό.

Ο ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος της Πυθαγόρειας Σχολής, ήταν ο μεγαλύτερος προδότης που πάτησε ποτέ το πόδι του μέσα στους χώρους του επιβλητικού της κτιρίου. Παρόλα αυτά η απόδειξη του ήταν απόλυτα σωστή και αυτό έγινε άμεσα αντιληπτό από τον Πυθαγόρα. Η σχολή πλέον είχε δύο επιλογές. Να κλείσει ή θα «θάψει» την καταστροφική απόδειξη. Τελικά οι Πυθαγόρειοι επέλεξαν το δεύτερο, κατηγορώντας τον Ιππασο για μέγιστη προδοσία και πνίγοντας τον στην θάλασσα.

Ο Ιππασος έχασε την ζωή του, όμως η ρίζα του 2 διατηρήθηκε «ζωντανή», ως ο πρώτος άρρητος αριθμός στην ιστορία των μαθηματικών. Οπως οι ίδιοι οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν μάλιστα, οι αριθμοί υπάρχουν στην σφαίρα του ιδεατού, όχι μόνο εκεί που μας… χρησιμεύουν.

Κάπως έτσι, γράφτηκε η πρώτη σελίδα στο τεράστιο κεφάλαιο των αρρήτων αριθμών, οι οποίοι εκ των υστέρων αποδείχθηκαν πολύ περισσότεροι από τους ρητούς. Για την ακρίβεια, αν μπορούσαμε να επιλέξουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό στην τύχη, τότε η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι ρητός είναι σχεδόν μηδενική!

Η απόδειξη που έμεινε στην ιστορία

Η απόδειξη του Ιππασου αναφέρεται από τον Αριστοτέλη ως χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της «προς άτομο απαγωγής». Ποιος όμως ήταν ο συλλογισμός του μαθηματικού;

Υπέθεσε ότι ο a/b είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα a²/b² =2. Οι αριθμοί a και b είναι πρώτοι μεταξύ τους, γιατί πολύ απλά αν είχαν κοινό διαιρέτη τότε αυτός θα απλοποιούταν από το κλάσμα (πχ. Το 4/12 γράφεται ως 1/3) Οπότε καταλήγουμε στην σχέση a²=2b².

Συνεπώς το a, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, είναι άρτιος αριθμός. Αρα, a = 2m και από αυτό έπειται ότι 4m² = b². Αρα b² = 2m². Άρα ο b είναι άρτιος, όπως και ο a.

Από την στιγμή που ισχύει ότι a και b είναι άρτιοι όμως, έχουν κοινό διαιρέτη το 2. Αυτό είναι άτοπο, αφού η υπόθεση λέει το αντίθετο. Άρα η ρίζα 2 δεν μπορεί να είναι ρητός!

Απίστευτα κι όμως αληθινά

Είχα υποσχεθεί στον εαυτό μου ότι το περασμένο ακαδημαϊκό έτος θα περιόριζα τις διάφορες ομιλίες που κάνω προσκεκλημένος από διάφορους τοπικούς φορείς στις δύο κάθε μήνα. Δυστυχώς έχω το κακό να μην μπορώ να αρνηθώ προσκλήσεις που γίνονται με ενθουσιασμό και εμφανή αγάπη στην επιστήμη που διακονώ επί σχεδόν μισό αιώνα. Κι έτσι οι δύο μηνιαίως έγιναν άλλοτε τρεις κι άλλοτε ακόμη και έξι. Σ’ όλες αυτές τις ομιλίες ανακάλυψα ότι για να μπορώ να επικοινωνήσω καλύτερα και πληρέστερα με τους ακροατές μου, θα έπρεπε να μιλώ με όρους και παραδείγματα που να έχουν νόημα και σημασία γι’ αυτούς. Κι έτσι όλα αυτά τα χρόνια, και για κάθε θέμα που διαπραγματευόμουν, συγκέντρωνα τα παραδείγματα εκείνα που φαίνονταν ότι είχαν κατά καιρούς τη μεγαλύτερη απήχηση στο ακροατήριό μου. Στη συλλογή αυτή περιλαμβάνονται θέματα για τον Ηλιο, τους πλανήτες, τα άστρα, τους γαλαξίες και γενικότερα το σύμπαν. Πολλά μάλιστα απ’ αυτά θα μπορούσε κανείς να τα χαρακτηρίσει και με τον όρο «απίστευτα κι όμως αληθινά». Με τον ερχομό, λοιπόν, του καλοκαιριού και με την ευκαιρία των διακοπών, που όλοι μας λίγο-πολύ θα έχουμε, θεώρησα καλό να παραθέσω εδώ μερικά από τα πιο ενδιαφέροντα και (κατά τη γνώμη μου) πιο εντυπωσιακά από τα παραδείγματα που χρησιμοποιώ στις διάφορες ομιλίες μου για να πάρετε κι εσείς μια γεύση! Αν ολόκληρο το ηλιακό μας σύστημα είχε το μέγεθος ενός καρυδιού, τότε ο Γαλαξίας μας θα είχε διάμετρο 160.000 χλμ.

Εάν σμικρύναμε τον Ηλιο στο μέγεθος ενός πορτοκαλιού, η Γη θα βρισκόταν σε απόσταση 15 μέτρων από αυτόν με το ίδιο μέγεθος που έχει ένας σπόρος από σουσάμι, ενώ το αμέσως επόμενο άστρο, ο Εγγύτατος του Κενταύρου, θα βρισκόταν σε απόσταση 4.000 χλμ.

Ή ακόμη πιο παραστατικά: αν σμικρύναμε το ηλιακό μας σύστημα ένα τρισεκατομμύριο φορές, τότε θα είχε το μέγεθος ενός μεγάλου δωματίου. Με την ίδια σμίκρυνση ο Ηλιος μας θα είχε το μέγεθος του κεφαλιού μιας καρφίτσας και το πλησιέστερο σε μας άστρο –ο Εγγύτατος του Κενταύρου– θα βρισκόταν σε απόσταση 42 χλμ. Στην ίδια σμίκρυνση ολόκληρος ο Γαλαξίας μας θα είχε διάμετρο 1.000.000 χλμ. και θα στολιζόταν με περίπου 100 δισεκατομμύρια άστρα, το καθένα με μέσο μέγεθος όσο το κεφάλι μιας καρφίτσας και μέση απόσταση περίπου 40 χλμ. το ένα από το άλλο.

Εάν ταξιδεύαμε με αυτοκίνητο προς το πλησιέστερο μετά τον Ηλιο άστρο (τον Εγγύτατο του Κενταύρου), θα χρειαζόμασταν 52.000.000 χρόνια! Εάν το αυτοκίνητό μας έτρεχε με 160 χλμ. την ώρα, θα χρειαζόμασταν 201 δισεκατομμύρια χρόνια για να φτάσουμε στο κέντρο του Γαλαξία μας και 670 δισεκατομμύρια χρόνια για να τον διασχίσουμε από τη μιαν άκρη στην άλλη. Κάθε δευτερόλεπτο ο Ηλιος μετατρέπει 4,5 εκατομμύρια τόνους της μάζας του σε ενέργεια, που θα κάλυπτε όλες τις ενεργειακές ανάγκες της Ευρώπης για 13.000.000 χρόνια.

Ενα από τα μεγαλύτερα άστρα που έχουμε παρατηρήσει στον ουρανό είναι ένας κόκκινος γίγαντας στον αστερισμό του Ταύρου, που ονομάζεται Αλντεμπαράν, βρίσκεται σε απόσταση 68 ετών φωτός και έχει διάμετρο 85.000 φορές μεγαλύτερη της Γης. Το άστρο Αντάρης (Αλφα Σκορπιού) βρίσκεται σε απόσταση 520 ετών φωτός από τη Γη, είναι 500 φορές μεγαλύτερο από τον Ηλιο και έχει 15 φορές περισσότερα υλικά, αλλά η πυκνότητά του είναι 1.000.000 φορές μικρότερη από το δικό μας άστρο.

Ενα μωρό 5 κιλών στην επιφάνεια ενός άστρου νετρονίων θα ζύγιζε 50.000.000 τόνους.

Μία έκρηξη σουπερνόβα παρατηρήθηκε από την Κίνα το 1054 μ.Χ. στον αστερισμό του Ταύρου σε απόσταση 6.300 ετών φωτός και έλαμψε με την ισχύ 500.000.000 Ηλίων. Η έκρηξη εκείνη άφησε πίσω της ένα φωτεινό νεφέλωμα, που ονομάζεται Νεφέλωμα Καρκίνος, με σημερινή διάμετρο 6 ετών φωτός ή 57 τρισεκατομμυρίων χλμ. Το Νεφέλωμα Καρκίνος διαστέλλεται με ταχύτητα που προσεγγίζει τα τέσσερα εκατομμύρια χιλιόμετρα την ώρα. Αν η διαστολή αυτή συνεχιστεί με τον ίδιο ρυθμό, τα υπολείμματα της σουπερνόβα θα φτάσουν στη Γη σε περίπου 2.000.000 χρόνια.

Ο Γαλαξίας μας αποτελεί περίπου το ένα τρισεκατομμυριοστό των ορατών υλικών του σύμπαντος. Συγκριτικά έχει το βάρος μιας μικρής βίδας σ’ ένα θωρηκτό 100.000 τόνων.

Ο γαλαξίας της Ανδρομέδας, που βρίσκεται σε απόσταση 2,25 εκατομμυρίων ετών φωτός, πλησιάζει τον δικό μας με ταχύτητα 500.000 χιλιομέτρων την ώρα, έτσι οι δύο γαλαξίες πρόκειται αναπόφευκτα να συγκρουστούν σε περίπου τρία δισεκατομμύρια χρόνια.

Μέσα σε μια δαχτυλήθρα χωρούν ένα δισεκατομμύριο τρισεκατομμύρια άτομα.

Κάθε δευτερόλεπτο που περνάει πάνω στη Γη γεννιούνται 2 μωρά, ενώ στο ίδιο χρονικό διάστημα γεννιούνται 63.400 νέα άστρα στο σύμπαν. Με τις σημερινές πιο συντηρητικές μας εκτιμήσεις υπολογίζουμε ότι στον Γαλαξία μας υπάρχουν σήμερα 900.000 δυνητικά κατοικήσιμοι πλανήτες ενώ στο σύμπαν φτάνουν τα 900 τρισεκατομμύρια.

Κι έπεται συνέχεια!

του ΔΙΟΝΥΣΗ Π. ΣΙΜΟΠΟΥΛΟY*

* Ο κ. Διονύσης Π. Σιμόπουλος είναι επίτιμος διευθυντής του Ευγενιδείου Πλανηταρίου.

Το ανθρώπινο είδος θα χαθεί αν δεν αλλάξουμε στάση απέναντι στα χρήματα και στον πλούτο

… σύμφωνα με τον Stephen Hawking

Απαισιόδοξος για το μέλλον δηλώνει ο Στίβεν Χόκινγκ και σε δοκίμιο του στην εφημερίδα Guardian, προειδοποιεί ότι το ανθρώπινο είδος θα χαθεί, αν συνεχιστεί η προ Brexit στάση των ανθρώπων για τα χρήματα και τον πλούτο.

Καλεί τη Βρετανία μετά την έξοδό της από την Ευρωπαϊκή Ένωση, να αναθεώρησει την αξία του χρήματος και του πλούτου, ώστε να υπάρξει ελπίδα για το μέλλον. Μάλιστα εκτιμά, ότι το αποτέλεσμα του δημοψηφίσματος επηρεάστηκε από τον τρόπο με τον οποίο ιεραρχεί η σύγχρονη κοινωνία τα υλικά αγαθά.

Όσο για τις συνέπειες του δημοψηφίσματος, αυτές εκτιμά ότι θα έχουν αρνητικό αντίκτυπο στην επιστημονική έρευνα. Όπως τονίζει ο διάσημος Βρετανός θεωρητικός φυσικός, το Brexit θα έχει αρνητικές επιπτώσεις στις επιχορηγήσεις για έρευνες σε μαθητές με προβλήματα αναπηρίας.

«Έχω μιλήσει στο παρελθόν για την ανησυχία μου ότι οι περικοπές των κρατικών δαπανών στη Βρετανία θα επηρέασουν αρνητικά τις επιχορηγήσεις σε μαθητές με αναπηρία. Αυτή η χρηματική υποστήριξη με βοήθησε πολύ κατά τη διάρκεια της καριέρας μου. Στην περίπτωσή μου βέβαια, τα χρήματα όχι μόνο με βοήθησαν να κάνω την καριέρα μου, αλλά με κράτησαν κυριολεκτικά ζωντανό!», τόνισε ο Stephen Hawking στο δοκίμιο του.

Τα χρήματα όπως τόνισε, μπορούν να δώσουν την ελευθερία στα ξεχωριστά άτομα και η φτώχεια αντίθετα, να τα παγιδεύσει και να τα περιορίσει.

Ως άνθρωπος με σοβαρή αναπηρία, έκανε σαφές ότι για εκείνον τα χρήματα είναι απλά ένα μέσο για να κάνει τη δουλειά του και να λειτουργήσει και ότι ποτέ δεν ήταν σε θέση να εκτιμήσει τους κατόχους του πλούτου που τον στήριζαν οικονομικά.

«Οι άνθρωποι πρέπει να αρχίσουν να αμφισβητούν την αξία του καθαρού πλούτου. Είναι η γνώση πιο σημαντική από τα χρήματα; Μπορεί να έχουμε πραγματικά κάτι δικό μας, ή είμαστε απλά παροδικοί θεματοφύλακες;», αναφέρει μεταξύ άλλων.

Ο Χόκινγκ προέτρεψε την διαιρεμένη Βρετανία να αλλάξει τη γενική στάση της απέναντι στα χρήματα και έκανε λόγο για συνεργασία των πολιτών για ένα κοινό όραμα.

«Να συνεργαστούμε όλοι μας για ένα κοινό όραμα και η προσπάθεια μας αυτή μπορεί να διασφαλίσει ότι η ανθρωπότητα μπορεί να επιβιώσει. Θα πρέπει να προσαρμοστούμε, να επανεξετάσουμε και να αλλάξουμε κάποιες από τις θεμελιώδεις παραδοχές μας σχετικά με το τι εννοούμε με τον όρο πλούτου, την κατοχή πλούτου, τι είναι δικό μου και τι δικό σου. Ακριβώς όπως τα παιδιά, θα πρέπει να μάθουμε να μοιραζόμαστε».

Και καταλήγει: «Εάν αποτύχουμε, τότε οι δυνάμεις που συνέβαλαν στο Brexit, ο φθόνος και ο απομονωτισμός, που δεν κυριαρχούν μόνο στην Βρετανία αλλά σε όλο τον κόσμο, το πνεύμα του να μην μοιραζόμαστε, η αποτυχία να διαιρέσουμε τον πλούτο πιο δίκαια, τόσο εντός όσο και εκτός των εθνικών συνόρων, οι δυνάμεις αυτές λοιπόν, θα ενισχυθούν. Αν συμβεί αυτό, δεν θα ήμουν αισιόδοξος για τη μακροπρόθεσμη προοπτική του είδους μας».

πηγές: imerisia.gr – www.theguardian.com